三维各向同性介质的胡克定律的推导方法

若要对处于三维应力状态下的材料进行描述，需要定义一个包含81个弹性常数的四阶张量cijkl以联系二阶应力张量σij和应变张量（又称格林张量）εkl。

  \sigma_{ij}=\sum_{kl}c_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl}

由于应力张量、应变张量和弹性系数张量存在对称性（应力张量的对称性就是材料力学中的剪应力互等定理），81个弹性常数中对于最一般的材料也只有21个是独立的。

由于应力的单位量纲（力/面积）与压强相同，而应变是无量纲的，所以弹性常数张量cijkl中每一个元素（分量）都具有压强的量纲。

对于固体材料大变形力学行为的描述需要用到新胡克型固体模型（neo-hookeansolids）和mooney-rivlin型固体模型。
[编辑]各向同性材料
[编辑]胡克定律的张量形式

（在牛顿流体中的类比参见粘性词条。）

各向同性材料（isotropicmaterials，也译作等向性材料）顾名思义就是（力学）性能沿空间中不同方向不发生变化的材料。显然描述这种材料的物理方程的形式不应随坐标系的旋转而改变。材料内部的应变张量也应该是对称的。由于任何张量的迹都是一个与所选坐标系无关的量，所以可以完备地将一个对称张量分解为一个常张量（即除主对角线上的分量以外均为0的张量）和一个迹为0的对称张量之和。即：

  \varepsilon_{ij}=\left(\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)+\left(\varepsilon_{ij}-\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)

其中δij是一个二阶单位张量（通过克罗内克δ记号来定义）。上式右边第一项是一个常张量，称为应变张量的静水压分量；右边第二项是一个迹为0的对称张量，称为剪应变分量。

对于各向同性材料，胡克定律最普遍的形式是将应力张量写成上述两个应变张量分量的线性组合：

  \sigma_{ij}=3k\left(\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)+2g\left(\varepsilon_{ij}-\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)

式中k称为体积模量（bulkmodulus），g是材料的剪切模量。

利用弹性力学理论中的弹性常数和实际工程应用中使用的弹性模量之间的关系，以上的关系还可写成其他形式，譬如下面这组方程用应力张量来表示了应变张量：

  \varepsilon_{11}=\frac{1}{y}\left(\sigma_{11}-\nu(\sigma_{22}+\sigma_{33})\right)
  \varepsilon_{22}=\frac{1}{y}\left(\sigma_{22}-\nu(\sigma_{11}+\sigma_{33})\right)
  \varepsilon_{33}=\frac{1}{y}\left(\sigma_{33}-\nu(\sigma_{11}+\sigma_{22})\right)
  \varepsilon_{12}=\frac{\sigma_{12}}{2g}
  \varepsilon_{13}=\frac{\sigma_{13}}{2g}
  \varepsilon_{23}=\frac{\sigma_{23}}{2g}

式中y称为杨氏模量，ν为泊松比。

[编辑]正交各向异性材料

正交各向异性材料是非常常见的一种材料模型，这种材料有三个互相正交的材料对称面；其三维胡克定理可以用矩阵表示为

\begin{pmatrix}\sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{12}\\\sigma_{23}\\\sigma_{31}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\c_{12}&c_{22}&c_{23}&0&0&0\\c_{13}&c_{23}&c_{33}&0&0&0\\0&0&0&c_{44}&0&0\\0&0&0&0&c_{55}&0\\0&0&0&0&0&c_{66}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\epsilon_{11}\\\epsilon_{22}\\\epsilon_{33}\\\epsilon_{12}\\\epsilon_{23}\\\epsilon_{31}\\\end{pmatrix}

此式中独立的材料常数为9个。注意式中三个剪切应力和三个剪切应变的顺序，不同教科书可能会不同的选择。

各向同性材料也是正交各向异性材料的一种特例，即有无数个对称平面的情况。这时独立材料常数只有2个，即杨氏模量和泊松比。

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