阿基米德有没有证明海伦公式

阿基米德是整个历史上最伟大的数学家之一，后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。他大约在公元前287年出身于西西里岛上的希腊城市叙拉古，早年曾在当时希腊的学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习，并在那里结识许多同行好友，如科农〔cononofsamos〕、多西修斯〔dositheus〕、埃拉托塞尼等等。回到叙拉古以后仍然和他们保持密切的联系，因此阿基米德也算是亚历山大里亚学派的成员，他的许多学术成果就是通过和亚历山大的学者通信往来保存下来的。
公元前212年罗马军队攻入叙拉古，并闯入阿基米德的住宅，看见一位老人在地上埋头作几何图形，士兵将图踩坏。阿基米德怒斥士兵：『不要弄坏我的图！』士兵拔出短剑，刺死了这位旷世绝伦的大科学家，阿基米德竟死在愚蠢无知的罗马士兵手里。他的生平没有详细记载，但关于他的许多故事却广为流传。据说他确立了力学的杠杆定理之后，曾发出豪言壮语：『给我一个立足点，我就可以移动这个地球！』，被誉为『力学之父』。
另一个着名的故事是：叙拉古的亥厄洛王叫金匠造一顶纯金的皇冠，因怀疑里面掺有银子，便请阿基米德鉴定一下。当他进入浴盆洗澡时，水漫溢到盆外，于是悟得不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水也必不相等。根据这一道理，就可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起来，赤身奔回家中，口中大呼：『尤里卡！尤里卡』』〔希腊语enrhka，意思是『我找到了』〕他将这一流体静力学的基本原理，即物体在液体中的减轻的重量，等于排去液体的重量，总结在他的名着《论浮体》〔onfloatingbodies〕中，后来以『阿基米德原理』着称于世。
《论浮体》更是古代第一部流体静力学着作，是第一次将数学用于流体静力学，阿基米德亦因此被尊为流体静力学的创始人。阿基米德的着作是数学阐述的典范，写得完整、简练，显示出巨大的创造性、计算技能和证明的严谨性。他对数学的最大贡献，也许是某些积分学方法的早期萌芽。现存的阿基米德着作中，有三本是讲平面几何的，它们是：《圆的量度》〔measurementofacircle〕计算圆内接与外切96边形的周长，求得圆周率π：310/71<π<31/7、《抛物线的求积》〔quadratureoftheparabola〕，确定抛物线与任一弦所围弓形的面积。和《论螺线》〔onspirals〕利用一组内接和一组外接的扇形，确定『阿基米德螺线』〔利用极坐标方程r=aθ来表示〕第一圈与始线所包围的面积等于[π(2πa)]2/3。
现存的阿基米德着作中，有两部是讲立体几何的，即《论球和圆柱》〔onthesphereandcylinder〕及《论劈锥曲面体和球体》〔onconoidsandspheroids〕前者包括了许多重大的成就。他从几个定义和公理出发，推出并于球与圆柱面积体积等五十多个命题。用几何方法解决相当于三次方程x2(a-x)=b2c的问题。后者研究几种圆锥曲线的旋转体，以及这些立体被平面截取部份的体积。在引理中给出公式12+22+32+...+n2=[1/6]n(n+1)(2n+1)。《数沙术》〔thesandreckoner〕是现存论术算术的随笔，设计一种可以表示任何大数目的方法，纠正有的人认为沙子是不可数的，即使可数也无法用算术符号表示的错误看法。尚存关于应用数学的有《论平板的平衡》〔onplaneequilibrium〕和《论浮体》。他还设计了一个『群牛问题』，导致二次不定方程x2-4729494y2=1。此外，他还发现13种半正多面体，用边表示三角形面积的『海伦公式』和七边形的作图法。

现已公认海伦公式是阿基米德发现的，但这个名称已成为习惯用法。

在数学史方面，现代最惊人的发现之一是丹麦语言学家海伯格〔heiberg〕于1906年在土耳其君士坦丁堡发现的阿基米德的长期失传的着作，后以《阿基米德方法》〔method〕为名刊行于世。
《阿基米德方法》的中心思想是：要计算一个未知量，先将它分成许许多多的微小量，再用另一组微小量来和它比较，〔通常是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小量取得平衡。〕而后者的总体该是较易计算的。于是通过比较，即可求出未知量来。这实质上就是积分法的基本思想。阿基米德的睿智，业已伸展到17世纪中叶的无穷小分析领域里去了。阿基米德运用这种富有启发性的方法，获得大量的辉煌成果，为后人开辟了一个广阔的领域。历史上有的数学家勇于开辟新的园地，而缺乏缜密的推理；有的数学家偏重于逻辑证明，而对新领域的开拓却徘徊不前。阿基米德则兼有二者之长，他常常通过实践直观地洞察到事物的本质，然后运用逻辑方法使经验上升为理论〔如浮力问题〕，再用理论去指导实际工作〔如发明机械〕。没有一位古代的科学家，像阿基米德那样将熟练的计算技巧和严格证明融为一体，将抽象的理论和工程技术的具体应用紧密结合起来。

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据morriskline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积s可由以下公式求得：

s=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：

s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

[编辑]证明
与海伦在他的着作"metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则馀弦定理为

\cos(c)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有

\sin(c)=\sqrt{1-\cos^2(c)}=\frac{\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2}}{2ab}
因此三角形的面积s为

s=\frac{1}{2}ab\sin(c)
=\frac{1}{4}\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2}
=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。
已知三角形的三条边长分别是a、b、c，则三角形的面积：

△＝根号下s(s-a)(s-b)(s-c)其中s=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式〔heron'sformula〕。
海伦公式出现在海伦的《测地术》一书中。此公式人们一直归功于海伦。但范德瓦尔登支持贝尔的主张，认为此公式实际上是阿基米德〔前287-前212〕发现的。不过在海伦的《经纬仪》和《度量》两书中都有一个证明。
我国大数学家秦九韶〔1022-1261〕在他写的《数书九章》〔成书于1247〕的第五卷《田域类》第二题「三斜求积」中所用的公式本质上与海伦公式是相同的，其意义就是：设三角形的三边分别为a，b，c，面积为δ，则
δ=根号下1/4｛a2b2-｛（a2+b2-c2)/2]2}
这个公式与海伦公式是等价的。

秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据morriskline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积s可由以下公式求得：
s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：
与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为
cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

s=1/2*ab*sinc
=1/2*ab*√(1-cos^2c)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明（2）：
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]
当p＝1时，△2＝q,
s△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}
因式分解得
1/16[(c+a)2-b2][b62-(c-a)2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8s(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：
s△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
s=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^.其中c>b>a.

根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

已知四边形abcd为圆的内接四边形，且ab=bc=4,cd=2,da=6，求四边形abcd的面积

这里用海伦公式的推广
s圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）
代入解得s=8√3

海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c),则
s△abc=aha=ab×sinc=rp
=2r2sinasinbsinc=
=
其中，s△abc=就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的变形
s=
=①
=②
=③
=④
=⑤
二、海伦公式的证明
证一勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥bc，根据勾股定理，得:
x=y=
ha===
∴s△abc=aha=a×=
此时s△abc为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△abc边bc上任取一点d，
若bd=u，dc=v,ad=t.则
t2=
证明：由证一可知，u=v=
∴ha2=t2=－
∴s△abc=aha=a×
=
此时为s△abc的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②s=可知，运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosc对其进行证明。
证明：要证明s=
则要证s=
=
=ab×sinc
此时s=ab×sinc为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用s△abc=rp，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠a+∠b+∠c=180○那么
tg·tg+tg·tg+tg·tg=1
证明：如图，tg=①
tg=②
tg=③
根据恒等式，得：
++=
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z)=xyz④
如图可知：a＋b－c=(x+z)＋(x+y)－(z+y)=2x
∴x=同理：y=z=
代入④，得：r2·=
两边同乘以，得：
r2·=
两边开方，得：r·=
左边r·=r·p=s△abc右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg=
tg=
tg=
证明：根据tg==∴r=×y①
同理r=×z②r=×x③
①×②×③,得：r3=×xyz
∵由证一，x==－c=p－c
y==－a=p－a
z==－b=p－b
∴r3=∴r=
∴s△abc=r·p=故得证。
三、海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形abcd中，设p=,则s四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长da，cb交于点e。
设ea=eeb=f
∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○
∴∠1=∠3∴△eab～△ecd
∴===
解得：e=①f=②
由于s四边形abcd=s△eab
将①，②跟b=代入公式变形④，得：
∴s四边形abcd=
所以，海伦公式的推广得证。
四、海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题：如图，四边形abcd内接于圆o中，sabcd=,ad=1,ab=1,cd=2.
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设bc=x
由海伦公式的推广，得：
(4－x)(2＋x)2=27
x4－12x2－16x＋27=0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)=0
(x－1)(x3＋x2－11x－27)=0
x=1或x3＋x2－11x－27=0
当x=1时，ad=bc=1
∴四边形可能为等腰梯形。